首先要理解，函數(shù)是發(fā)生在集合之間的一種對應(yīng)關(guān)系。然后，要理解發(fā)生在A、B之間的函數(shù)關(guān)系不止且不止一個。最后，要重點理解函數(shù)的三要素。
在一個變化過程中，發(fā)生變化的量叫變量（數(shù)學(xué)中，常常為x，而y則隨x值的變化而變化），有些數(shù)值是不隨變量而改變的，我們稱它們?yōu)槌Ａ俊?/div>
自變量（函數(shù)）：一個與它量有關(guān)聯(lián)的變量，這一量中的任何一值都能在它量中找到對應(yīng)的固定值。
因變量（函數(shù)）：隨著自變量的變化而變化，且自變量取唯一值時，因變量（函數(shù)）有且只有唯一值與其相對應(yīng)。
函數(shù)值：在y是x的函數(shù)中，x確定一個值，y就隨之確定一個值，當(dāng)x取a時，y就隨之確定為b，b就叫做a的函數(shù)值 [2] 。
映射定義
設(shè)A和B是兩個非空集合，如果按照某種對應(yīng)關(guān)系
，對于集合A中的任何一個元素a，在集合B中都存在唯一的一個元素b與之對應(yīng)，那么，這樣的對應(yīng)（包括集合A，B，以及集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系f）叫做集合A到集合B的映射（Mapping），記作
。其中，b稱為a在映射f下的象，記作：
; a稱為b關(guān)于映射f的原象
。集合A中所有元素的象的集合記作f（A）。
則有：定義在非空數(shù)集之間的映射稱為函數(shù)。（函數(shù)的自變量是一種特殊的原象，因變量是特殊的象） [2]
幾何含義
函數(shù)與不等式和方程存在聯(lián)系（初等函數(shù)）。令函數(shù)值等于零，從幾何角度看，對應(yīng)的自變量的值就是圖像與X軸的交點的橫坐標(biāo)；從代數(shù)角度看，對應(yīng)的自變量是方程的解。另外，把函數(shù)的表達(dá)式（無表達(dá)式的函數(shù)除外）中的“=”換成“<”或“>”，再把“Y”換成其它代數(shù)式，函數(shù)就變成了不等式，可以求自變量的范圍 [2] 。
集合論
如果X到Y(jié)的二元關(guān)系
，對于每個
，都有唯一的
，使得
，則稱f為X到Y(jié)的函數(shù)，記做：
。
當(dāng)
時，稱f為n元函數(shù)
[2] 。
元素
輸入值的集合X被稱為f的定義域；可能的輸出值的集合Y被稱為f的值域。函數(shù)的值域是指定義域中全部元素通過映射f得到的實際輸出值的集合。注意，把對應(yīng)域稱作值域是不正確的，函數(shù)的值域是函數(shù)的對應(yīng)域的子集。
計算機(jī)科學(xué)中，參數(shù)和返回值的數(shù)據(jù)類型分別確定了子程序的定義域和對應(yīng)域。因此定義域和對應(yīng)域是函數(shù)一開始就確定的強(qiáng)制進(jìn)行約束。另一方面，值域是和實際的實現(xiàn)有關(guān) [2] 。
分類
單射函數(shù)，將不同的變量映射到不同的值。即：對于所有
和
，當(dāng)
時有
。
滿射函數(shù)，其值域即為其對映域。即：對映射f的對映域中之任意y，都存在至少一個x滿足 y=f（x）。
雙射函數(shù)，既是單射的又是滿射的。也叫一一對應(yīng)。雙射函數(shù)經(jīng)常被用于表明集合X和Y是等勢的，即有一樣的基數(shù)。如果在兩個集合之間可以建立一個一一對應(yīng)，則說這兩個集合等勢 [2] 。
象和原象
元素在的象就是f（x），他們所取的值為0
[2] 。
圖象
函數(shù)
f的圖象是平面上點對
的集合，其中x取定義域上所有成員的。函數(shù)圖象可以幫助理解證明一些定理。
如果X和Y都是連續(xù)的線，則函數(shù)的圖象有很直觀表示注意兩個集合X和Y的二元關(guān)系有兩個定義：一是三元組（X,Y,G），其中G是關(guān)系的圖；二是索性以關(guān)系的圖定義。用第二個定義則函數(shù)f等于其圖象 [2] 。
發(fā)展歷史
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函數(shù)的由來
中文數(shù)學(xué)書上使用的“函數(shù)”一詞是轉(zhuǎn)譯詞。是我國清代數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯《代數(shù)學(xué)》（1859年）一書時，把“function”譯成“函數(shù)”的。
中國古代“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思。李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數(shù)。”中國古代用天、地、人、物4個字來表示4個不同的未知數(shù)或變量。這個定義的含義是：“凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數(shù)。”所以“函數(shù)”是指公式里含有變量的意思。我們所說的方程的確切定義是指含有未知數(shù)的等式。但是方程一詞在我國早期的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，意思指的是包含多個未知量的聯(lián)立一次方程，即所說的線性方程組 [2] 。
早期概念
十七世紀(jì)伽俐略在《兩門新科學(xué)》一書中，幾乎全部包含函數(shù)或稱為變量關(guān)系的這一概念，用文字和比例的語言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系。1637年前后笛卡爾在他的解析幾何中，已注意到一個變量對另一個變量的依賴關(guān)系，但因當(dāng)時尚未意識到要提煉函數(shù)概念，因此直到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函數(shù)的一般意義，大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來研究的。
1673年，萊布尼茲首次使用“function”（函數(shù)）表示“冪”，后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長等曲線上點的有關(guān)幾何量。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用 “流量”來表示變量間的關(guān)系 [2] 。
十八世紀(jì)
1718年約翰·柏努利在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上對函數(shù)概念進(jìn)行了定義：“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量。”他的意思是凡變量x和常量構(gòu)成的式子都叫做x的函數(shù)，并強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式來表示。
1748年，歐拉在其《無窮分析引論》一書中把函數(shù)定義為：“一個變量的函數(shù)是由該變量的一些數(shù)或常量與任何一種方式構(gòu)成的解析表達(dá)式。”他把約翰·貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)，還考慮了“隨意函數(shù)”。不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。
1755年，歐拉給出了另一個定義：“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)。” [2]
十九世紀(jì)
1821年，柯西從定義變量起給出了定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)。”在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了自變量一詞，同時指出對函數(shù)來說不一定要有解析表達(dá)式。不過他仍然認(rèn)為函數(shù)關(guān)系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限。
1822年傅里葉發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可以用曲線表示，也可以用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數(shù)的認(rèn)識又推進(jìn)了一個新層次。
1837年狄利克雷突破了這一局限，認(rèn)為怎樣去建立
與
之間的關(guān)系無關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“
對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個確定的值，那么y叫做x的函數(shù)。”這個定義避免了函數(shù)定義中對依賴關(guān)系的描述，以清晰的方式被所有數(shù)學(xué)家接受。這就是人們常說的
經(jīng)典函數(shù)定義。
等到康托創(chuàng)立的集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后，奧斯瓦爾德維布倫用“集合”和“對應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過集合概念把函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對象 [2] 。
現(xiàn)代概念
1914年豪斯道夫（F．Hausdorff）在《集合論綱要》中用不明確的概念“序偶”來定義函數(shù)，其避開了意義不明確的“變量”、“對應(yīng)”概念。庫拉托夫斯基（Kuratowski）于1921年用集合概念來定義“序偶”使豪斯道夫的定義很嚴(yán)謹(jǐn)了。
1930 年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為“
若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應(yīng)，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為f。元素x稱為自變量，元素y稱為因變量” [2] 。
函數(shù)定義
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傳統(tǒng)定義
一般的，在一個變化過程中，假設(shè)有兩個變量x、y，如果對于任意一個x都有唯一確定的一個y和它對應(yīng)，那么就稱x是自變量，y是x的函數(shù)。x的取值范圍叫做這個函數(shù)的定義域，相應(yīng)y的取值范圍叫做函數(shù)的值域 [2] 。
近代定義
設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)
和它對應(yīng)，那么就稱映射
為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作
或
。
其中x叫作自變量，
叫做x的函數(shù)，集合
叫做函數(shù)的定義域，與x對應(yīng)的y叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合
叫做函數(shù)的值域，
叫做對應(yīng)法則。其中，定義域、值域和對應(yīng)法則被稱為
函數(shù)三要素
定義域，值域，對應(yīng)法則稱為函數(shù)的三要素。一般書寫為
。若省略定義域，一般是指使函數(shù)有意義的集合
[2] 。
編程
函數(shù)過程中的這些語句用于完成某些有意義的工作——通常是處理文本，控制輸入或計算數(shù)值。通過在程序代碼中引入函數(shù)名稱和所需的參數(shù)，可在該程序中執(zhí)行（或稱調(diào)用）該函數(shù)。
類似過程，不過函數(shù)一般都有一個返回值。它們都可在自己結(jié)構(gòu)里面調(diào)用自己，稱為遞歸。
大多數(shù)編程語言構(gòu)建函數(shù)的方法里都含有函數(shù)關(guān)鍵字（或稱保留字） [2] 。
表示方法
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解析式法
用含有數(shù)學(xué)關(guān)系的等式來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法叫做解析式法。這種方法的優(yōu)點是能簡明、準(zhǔn)確、清楚地表示出函數(shù)與自變量之間的數(shù)量關(guān)系；缺點是求對應(yīng)值時往往要經(jīng)過較復(fù)雜的運(yùn)算，而且在實際問題中有的函數(shù)關(guān)系不一定能用表達(dá)式表示出來 [2] 。
列表法
用列表的方法來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法。這種方法的優(yōu)點是通過表格中已知自變量的值，可以直接讀出與之對應(yīng)的函數(shù)值；缺點是只能列出部分對應(yīng)值，難以反映函數(shù)的全貌。如下所示 [2] ：
圖像法
把一個函數(shù)的自變量x與對應(yīng)的因變量y的值分別作為點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對應(yīng)點，所有這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。這種表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法。這種方法的優(yōu)點是通過函數(shù)圖象可以直觀、形象地把函數(shù)關(guān)系表示出來；缺點是從圖象觀察得到的數(shù)量關(guān)系是近似的 [2] 。
語言敘述法
使用語言文字來描述函數(shù)的關(guān)系 [2] 。
函數(shù)的特性
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有界性
設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間X上有定義，如果存在M>0，對于一切屬于區(qū)間X上的x，恒有|f（x）|≤M，則稱f（x）在區(qū)間X上有界，否則稱f（x）在區(qū)間上無界 [3] 。
單調(diào)性
設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，區(qū)間I包含于D。如果對于區(qū)間上任意兩點x1及x2，當(dāng)x1<x2時，恒有f（x1）<f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)遞增的；如果對于區(qū)間I上任意兩點x1及x2，當(dāng)x1<x2時，恒有f（x1）>f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)遞減的。單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù) [2] 。
奇偶性
設(shè)
為一個實變量實值函數(shù)，若有f（-x）= - f（x），則
f（x）為奇函數(shù)。
幾何上，一個奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，亦即其圖像在繞原點做180度旋轉(zhuǎn)后不會改變。
奇函數(shù)的例子有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）。
設(shè)
f（
x）為一實變量實值函數(shù)，若有
，則
f（x）為偶函數(shù)。
幾何上，一個偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱，亦即其圖在對y軸映射后不會改變。
偶函數(shù)的例子有|x|、x2、cos（x）和cosh（x）。
偶函數(shù)不可能是個雙射映射 [2] 。
周期性
設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D。如果存在一個正數(shù)T，使得對于任一
有
，且f（x+T）=f（x）恒成立，則稱f（x）為周期函數(shù)，T稱為f（x）的周期，通常我們說周期函數(shù)的周期是指最小正周期。周期函數(shù)
的定義域 D 為至少一邊的無界區(qū)間，若D為有界的，則該函數(shù)不具周期性。并非每個周期函數(shù)都有最小正周期，例如狄利克雷函數(shù)。
周期函數(shù)有以下性質(zhì)：
（1）若T（T≠0）是f（x）的周期，則-T也是f（x）的周期。
（2）若T（T≠0）是f（x）的周期，則nT（n為任意非零整數(shù)）也是f（x）的周期。
（3）若T1與T2都是f（x）的周期，則
也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整數(shù)倍。
（5）T*是f（x）的最小正周期，且T1、T2分別是f（x）的兩個周期，則T1/T2∈Q（Q是有理數(shù)集）
（6）若T1、T2是f（x）的兩個周期，且T1/T2是無理數(shù)，則f（x）不存在最小正周期。
（7）周期函數(shù)f（x）的定義域M必定是雙方無界的集合 [2] 。
連續(xù)性
在數(shù)學(xué)中，連續(xù)是函數(shù)的一種屬性。直觀上來說，連續(xù)的函數(shù)就是當(dāng)輸入值的變化足夠小的時候，輸出的變化也會隨之足夠小的函數(shù)。如果輸入值的某種微小的變化會產(chǎn)生輸出值的一個突然的跳躍甚至無法定義，則這個函數(shù)被稱為是不連續(xù)的函數(shù)（或者說具有不連續(xù)性）。
設(shè)f是一個從實數(shù)集的子集射到 的函數(shù)：f在中的某個點c處是連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)以下的兩個條件滿足：
f在點c上有定義。c是其中的一個聚點，并且無論自變量x在中以什么方式接近c，f（x） 的極限都存在且等于f（c）。我們稱函數(shù)到處連續(xù)或處處連續(xù)，或者簡單的連續(xù)，如果它在其定義域中的任意點處都連續(xù)。更一般地，我們說一個函數(shù)在它定義域的子集上是連續(xù)的當(dāng)它在這個子集的每一點處都連續(xù)。
不用極限的概念，也可以用下面所謂的方法來定義實值函數(shù)的連續(xù)性。
仍然考慮函數(shù)。假設(shè)c是f的定義域中的元素。函數(shù)f被稱為是在c點連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)以下條件成立：
對于任意的正實數(shù)，存在一個正實數(shù)δ> 0 使得對于任意定義域中的δ，只要x滿足c - δ< x < c + δ，就有成立 [2] 。
凹凸性
設(shè)函數(shù)
在
上連續(xù)。如果對于
上的兩點
，恒有
那么稱第一個不等式中的
是區(qū)間
上的凸函數(shù)；稱第二個不等式中的
為嚴(yán)格凸函數(shù)。
同理如果恒有
那么稱第一個不等式中的
是區(qū)間
上的凹函數(shù)；稱第二個不等式中的
為嚴(yán)格凹函數(shù)
[2] 。
復(fù)合函數(shù)
設(shè)函數(shù)
的定義域為
,函數(shù)
在D上有定義（D是構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的定義域，它可以是
定義域的一個非空子集），且
，則函數(shù)
稱為由函數(shù)
和函數(shù)
構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，它的定義域為D，變量
稱為中間變量。
并不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)，若D為空集，則
和函數(shù)
不能復(fù)合
[3] 。
反函數(shù)
一般地，設(shè)函數(shù)
，值域是W，對于每一個屬于W的y，有唯一的x屬于D，使得f（x）=y,這時變量x也是變量y的函數(shù)，稱為y=f（x）的反函數(shù)，記作
。而習(xí)慣上y=f（x）的反函數(shù)記為
。
習(xí)慣上只有一一對應(yīng)的函數(shù)才有反函數(shù)。而若函數(shù)是定義在其定義域D上的單調(diào)增加或單調(diào)減少函數(shù)，則其反函數(shù)在其定義域W上單調(diào)增加或減少。原函數(shù)與反函數(shù)之間關(guān)于y=x對稱 [3] 。
分段函數(shù)
在自變量的不同變化范圍內(nèi)，對應(yīng)法則用不同解析式子來表示的一個函數(shù)，稱為分段函數(shù) [3] 。分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集 [2] 。
多項式函數(shù)
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常函數(shù)
x取定義域內(nèi)任意數(shù)時，都有 y=C （C是常數(shù)），則函數(shù)y=C稱為常函數(shù)，
其圖象是平行于x軸的直線或直線的一部分 [2] 。
一次函數(shù)
在某一個變化過程中，設(shè)有兩個變量x和y，如果可以寫成
（k為一次項系數(shù)，b為常數(shù)），那么我們就說y是x的
一次函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。特別的，當(dāng)b=0時（
），稱y是x的
正比例函數(shù)。
基本性質(zhì)：
1、在正比例函數(shù)時，x與y的商一定（x≠0）。在反比例函數(shù)時，x與y的積一定。
在y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）中，當(dāng)x增大m時，函數(shù)值y則增大km，反之，當(dāng)x減少m時，函數(shù)值y則減少km。
2、當(dāng)x=0時，b為一次函數(shù)圖像與y軸交點的縱坐標(biāo)，該點的坐標(biāo)為（0，b）；當(dāng)y=0時，一次函數(shù)圖像與x軸相交于（﹣b/k）
3、當(dāng)b=0時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)。當(dāng)然正比例函數(shù)為特殊的一次函數(shù)。
4、在兩個一次函數(shù)表達(dá)式中：
當(dāng)兩個一次函數(shù)表達(dá)式中的k相同，b也相同時，則這兩個一次函數(shù)的圖像重合；
當(dāng)兩個一次函數(shù)表達(dá)式中的k相同，b不相同時，則這兩個一次函數(shù)的圖像平行；
當(dāng)兩個一次函數(shù)表達(dá)式中的k不相同，b不相同時，則這兩個一次函數(shù)的圖像相交；
當(dāng)兩個一次函數(shù)表達(dá)式中的k不相同，b相同時，則這兩個一次函數(shù)圖像交于y軸上的同一點（0，b）；
當(dāng)兩個一次函數(shù)表達(dá)式中的k互為負(fù)倒數(shù)時，則這兩個一次函數(shù)圖像互相垂直。
5、兩個一次函數(shù)（y1=k1x+b1,y2=k2x+b2）相乘時（k≠0），得到的的新函數(shù)為二次函數(shù)，
該函數(shù)的對稱軸為－（k2b1+k1b2）/（2k1k2）；
當(dāng)k1,k2正負(fù)相同時，二次函數(shù)開口向上；
當(dāng)k1,k2正負(fù)相反時，二次函數(shù)開口向下。
二次函數(shù)與y軸交點為（0，b2b1）。
6、兩個一次函數(shù)（y1=ax+b,y2=cx+d）之比，得到的新函數(shù)y3=（ax+b）/（cx+d）為反比例函數(shù)，漸近線為x=－b/a，y=c/a。
7、當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線平行時，其函數(shù)解析式中k的值（即一次項系數(shù)）相等；當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線垂直時，其函數(shù)解析式中k的值互為負(fù)倒數(shù)（即兩個k值的乘積為-1）。
圖像：
如右圖所示，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）圖像是直線，過（0，b）和（-b/k，0）兩點。特別地，當(dāng)b=0時，圖像過原點。
一次函數(shù)和方程的聯(lián)系與區(qū)別:
1、一次函數(shù)和一元一次方程有相似的表達(dá)形式。
2、一次函數(shù)表示的是一對（x，y）之間的關(guān)系，它有無數(shù)對解；一元一次方程表示的是未知數(shù)x的值，最多只有1個值 。
3、一次函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)的一元一次方程的根。
一次函數(shù)和不等式:
從函數(shù)的角度看，解不等式的方法就是尋求使一次函數(shù)y=kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍的一個過程；
從函數(shù)圖像的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合。
對應(yīng)一次函數(shù)y=kx+b，它與x軸交點為（-b/k,0）。
當(dāng)k>0時，不等式kx+b>0的解為：x>- b/k，不等式kx+b<0的解為：x<- b/k；
當(dāng)k<0的解為：不等式kx+b>0的解為：x<- b/k，不等式kx+b<0的解為：x>- b/k [2] 。
二次函數(shù)
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
，則稱y為x的
二次函數(shù)。二次函數(shù)的定義域為實屬域R。常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交于（0,c）
二次函數(shù)還有以下兩種表示方式：
從右圖可見二次函數(shù)圖像是軸對稱圖形。
函數(shù)性質(zhì)
1、二次函數(shù)是拋物線，但拋物線不一定是二次函數(shù)。開口向上或者向下的拋物線才是二次函數(shù)。拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2、拋物線有一個頂點P，坐標(biāo)為
,當(dāng)
時，P在y軸上；當(dāng)
時，P在x軸上。
3、二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當(dāng)a>0時，拋物線向上開口；當(dāng)a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。當(dāng)a>0時，函數(shù)在
處取得最小值
；在
上是減函數(shù)，在
上是增函數(shù)；函數(shù)的值域是
相反不變。
4、一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。當(dāng)a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。
Δ<0，拋物線與x軸沒有交點，x的取值為虛數(shù) [2] 。
三次函數(shù)
形如
（a≠0,b,c,d為常數(shù)）的函數(shù)叫做三次函數(shù)（cubics function）。 三次函數(shù)的圖象是一條曲線——回歸式拋物線（不同于普通拋物線）
[2] 。
四次函數(shù)
定義：形如
的函數(shù)叫做四次函數(shù)
[2] 。
五次函數(shù)
一般的，自變量x和因變量y存在如下關(guān)系：
的函數(shù)，稱y為x的五次函數(shù)。其中，a、b、c、d、e分別為五次、四次、三次、二次、一次項系數(shù)，f為常數(shù)，a≠0
[2] 。
基本初等函數(shù)
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基本初等函數(shù)包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)和常數(shù)函數(shù)。
冪函數(shù)
冪函數(shù)是形如y=xa的函數(shù)，a可以是自然數(shù)、有理數(shù)，也可以是任意實數(shù)或復(fù)數(shù) [2] 。
指數(shù)函數(shù)
指數(shù)函數(shù)是形如y=a
x（a>0 ，a≠1）的函數(shù)，定義域為
，值域為
，a>1 時是嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)，0<
a<1時函數(shù)單調(diào)減少，圖像過定點（0,1）
[2] 。
對數(shù)函數(shù)
，稱a為底 ，定義域為
，值域為
。a>1 時是嚴(yán)格單調(diào)增加的，0<a<1時是嚴(yán)格單減的。不論a為何值，對數(shù)函數(shù)的圖形均過點（1,0），對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。
以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)，簡記為
。在科學(xué)技術(shù)中普遍使用的是以e為底的對數(shù)，即自然對數(shù)，記作
。
三角函數(shù)
三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們的本質(zhì)是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的，其定義域為整個實數(shù)域。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全。現(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無窮數(shù)列的極限和微分方程的解，將其定義擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系。
由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù)。
三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有較為重要的應(yīng)用。在物理學(xué)中，三角函數(shù)（Trigonometric）也是常用的工具。
它有六種基本函數(shù)：正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)，余切函數(shù)，正割函數(shù)和余割函數(shù) [2] 。
反三角函數(shù)
反三角函數(shù)包括反正弦函數(shù)，反余弦函數(shù)，反正切函數(shù)，反余切函數(shù)，反正割函數(shù)和反余割函數(shù) [2] 。
常數(shù)函數(shù)
常數(shù)函數(shù)（也稱常值函數(shù)）是指值不發(fā)生改變（即是常數(shù)）的函數(shù)。例如，我們有函數(shù)f（x）=4，因為f映射任意的值到4，因此f是一個常數(shù)。更一般地，對一個函數(shù)f: A→B，如果對A內(nèi)所有的x和y，都有f（x）=f（y），那么，f是一個常數(shù)函數(shù) [2] 。
復(fù)變函數(shù)
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定義
復(fù)變函數(shù)是定義域為復(fù)數(shù)集合的函數(shù)。
復(fù)數(shù)的概念起源于求方程的根，在二次、三次代數(shù)方程的求根中就出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開平方的情況。在很長時間里，人們對這類數(shù)不能理解。但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這類數(shù)的重要性就日益顯現(xiàn)出來。復(fù)數(shù)的一般形式是：a+bi，其中i是虛數(shù)單位。
以復(fù)數(shù)作為自變量的函數(shù)就叫做復(fù)變函數(shù)，而與之相關(guān)的理論就是復(fù)變函數(shù)論。解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)中一類具有解析性質(zhì)的函數(shù)，復(fù)變函數(shù)論主要就研究復(fù)數(shù)域上的解析函數(shù)，因此通常也稱復(fù)變函數(shù)論為解析函數(shù)論 [4] 。
復(fù)變函數(shù)的發(fā)展簡況
復(fù)變函數(shù)論產(chǎn)生于十八世紀(jì)。1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復(fù)變函數(shù)的積分導(dǎo)出的兩個方程。而比他更早時，法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在他的關(guān)于流體力學(xué)的論文中，就已經(jīng)得到了它們。因此，后來人們提到這兩個方程，把它們叫做“達(dá)朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀(jì)，上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學(xué)時，作了更詳細(xì)的研究，所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。
復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì)，就象微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。
為復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、達(dá)朗貝爾，法國的拉普拉斯也隨后研究過復(fù)變函數(shù)的積分，他們都是創(chuàng)建這門學(xué)科的先驅(qū)。
后來為這門學(xué)科的發(fā)展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯。二十世紀(jì)初，復(fù)變函數(shù)論又有了很大的進(jìn)展，維爾斯特拉斯的學(xué)生，瑞典數(shù)學(xué)家列夫勒、法國數(shù)學(xué)家彭加勒、阿達(dá)瑪?shù)榷甲髁舜罅康难芯抗ぷ鳎_拓了復(fù)變函數(shù)論更廣闊的研究領(lǐng)域，為這門學(xué)科的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。
復(fù)變函數(shù)論在應(yīng)用方面，涉及的面很廣，有很多復(fù)雜的計算都是用它來解決的。比如物理學(xué)上有很多不同的穩(wěn)定平面場，所謂場就是每點對應(yīng)有物理量的一個區(qū)域，對它們的計算就是通過復(fù)變函數(shù)來解決的。
比如俄國的茹柯夫斯基在設(shè)計飛機(jī)的時候，就用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問題，他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問題上也做出了貢獻(xiàn)。
復(fù)變函數(shù)論不但在其他學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也都應(yīng)用了它的理論。它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學(xué)科，對它們的發(fā)展很有影響 [4] 。
復(fù)變函數(shù)的內(nèi)容
復(fù)變函數(shù)論主要包括單值解析函數(shù)理論、黎曼曲面理論、幾何函數(shù)論、留數(shù)理論、廣義解析函數(shù)等方面的內(nèi)容。
如果當(dāng)函數(shù)的變量取某一定值的時候，函數(shù)就有一個唯一確定的值，那么這個函數(shù)解就叫做單值解析函數(shù)，多項式就是這樣的函數(shù)。
復(fù)變函數(shù)也研究多值函數(shù)，黎曼曲面理論是研究多值函數(shù)的主要工具。由許多層面安放在一起而構(gòu)成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面，可以使多值函數(shù)的單值枝和枝點概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對于某一個多值函數(shù)，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函數(shù)在離曼曲面上就變成單值函數(shù)。
黎曼曲面理論是復(fù)變函數(shù)域和幾何間的一座橋梁，能夠使我們把比較深奧的函數(shù)的解析性質(zhì)和幾何聯(lián)系起來。關(guān)于黎曼曲面的研究還對另一門數(shù)學(xué)分支拓?fù)鋵W(xué)有比較大的影響，逐漸地趨向于討論它的拓?fù)湫再|(zhì)。
復(fù)變函數(shù)論中用幾何方法來說明、解決問題的內(nèi)容，一般叫做幾何函數(shù)論，復(fù)變函數(shù)可以通過共形映象理論為它的性質(zhì)提供幾何說明。導(dǎo)數(shù)處處不是零的解析函數(shù)所實現(xiàn)的映象就都是共形映象，共形映象也叫做保角變換。共形映象在流體力學(xué)、空氣動力學(xué)、彈性理論、靜電場理論等方面都得到了廣泛的應(yīng)用。
留數(shù)理論是復(fù)變函數(shù)論中一個重要的理論。留數(shù)也叫做殘數(shù)，它的定義比較復(fù)雜。應(yīng)用留數(shù)理論對于復(fù)變函數(shù)積分的計算比起線積分計算方便。計算實變函數(shù)定積分，可以化為復(fù)變函數(shù)沿閉回路曲線的積分后，再用留數(shù)基本定理化為被積分函數(shù)在閉合回路曲線內(nèi)部孤立奇點上求留數(shù)的計算，當(dāng)奇點是極點的時候，計算更加簡潔。
把單值解析函數(shù)的一些條件適當(dāng)?shù)馗淖兒脱a(bǔ)充，以滿足實際研究工作的需要，這種經(jīng)過改變的解析函數(shù)叫做廣義解析函數(shù)。廣義解析函數(shù)所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函數(shù)的一些基本性質(zhì)，只要稍加改變后，同樣適用于廣義解析函數(shù)。
廣義解析函數(shù)的應(yīng)用范圍很廣泛，不但應(yīng)用在流體力學(xué)的研究方面，而且象薄殼理論這樣的固體力學(xué)部門也在應(yīng)用。因此，自2002年來這方面的理論發(fā)展十分迅速。
從柯西算起，復(fù)變函數(shù)論已有170多年的歷史了。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學(xué)的一個重要組成部分。它曾經(jīng)推動過一些學(xué)科的發(fā)展，并且常常作為一個有力的工具被應(yīng)用在實際問題中，它的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程。2002年，復(fù)變函數(shù)論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續(xù)向前發(fā)展，并將取得更多應(yīng)用 [4] 。
常用函數(shù)
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實函數(shù)
實函數(shù)（Real function），指定義域和值域均為實數(shù)域的函數(shù)。實函數(shù)的特性之一是可以在坐標(biāo)上畫出圖形。
雙曲函數(shù)
隱函數(shù)
若能由方程F（x,y）=0 確定y為x的函數(shù)y=f（x），即
，就稱y是x的隱函數(shù)。
而此處方程F（x,y ）= 0 并非函數(shù)。
多元函數(shù)
多元函數(shù)（n-元函數(shù)）是指輸入值為n-元組的函數(shù)。或者說，若一函數(shù)的輸入值域為n個集合的笛卡爾積的子集，這函數(shù)就是n-元函數(shù)。
其他
此外經(jīng)常用到的函數(shù)還有高斯函數(shù)，階梯函數(shù)和脈沖函數(shù)。
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